>DayGaykin ©   (21.05.18 13:26) [39]

Шар одного из K цветов может оказаться на каждом из N мест. Поэтому имеем всего K^N различных исходов (это первое слагаемое).

Нас интересуют только исходы, использующие шары ровно K цветов. Поэтому из общего числа надо вычесть исходы, содержащие шары K-1 или менее цветов. Если просто вычесть C(K,K-1)*(K-1)^N (это второе слагаемое), то вместе с однократным вычитанием исходов для K-1 цветов мы ошибочно многократно вычтем исходы для K-2 и меньшего числа цветов, поэтому надо компенсировать ошибку. Затем компенсировать ошибку компенсации, и т.д.

Идею легче будет понять, если нарисовать овалы, как обычно это делают, изображая множества для иллюстрации включений-исключений.

Вообще эта задача легко решается в 11-мерном многообразии методом Колывагина-Флаха