всегда существует такое N: 0..7, что для любого числа K истинно выражение (K and (not $F000) + N shl 12) mod 7 = 0.
Другими словами, любое ли число можно привести к делимости на 7, изменив три бита начиная с 13ого.

Есть идеи?

С помощью признака делимости я сходу не смогу.

Опровергнуть небольшим перебором тоже не вышло:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
 K, N: Int64;
 F: Boolean;
begin
 for K := 0 to $FFFFFFFF do
 begin
     F := False;
     for N := 0 to 7 do
     if (K and (not $F000) + N shl 12) mod 7 = 0 then
     begin
       F := True;
       break;
     end;
   if not F then
   begin
     Memo1.Append(IntToHex(K, 0));
     Application.ProcessMessages;
   end;
 end;
end;


Удалено модератором

> ttUser ©   (19.06.16 20:19) [1]
> Во тебя вштырило то :))

Я по программированию вопросы с трудом на английском задаю, что говорить уже о математике.

Я даже экспериментально установил значение для N:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
 K, N, Id: Int64;
begin
 for K := 0 to $FFFFFFFF do
 begin
   Id := K and not ($F000);
   N := 7 - Id mod 7;
   if (Id + N shl 12) mod 7 <> 0 then
   begin
     Memo1.Append(IntToHex(K, 0));
     Application.ProcessMessages;
   end;
 end;
end;  

Доказательства по прежнему нет.

DayGaykin ©   (19.06.16 20:11)  

1 * 4096 mod 7 = 1
2 * 4096 mod 7 = 2
4 * 4096 mod 7 = 4

и каким ни был модуль исходного числа,
мы всегда сможем найти такую комбинацию бит,
чтобы в итоге получить нужный модуль

например, если нужно получить нулевую сумму,
то можно использовать выражение:
N:=K mod 7 xor 7;
при этом будет всегда N>0.

> DayGaykin ©   (19.06.16 20:11)
>
> всегда существует такое N: 0..7, что для любого числа K
> истинно выражение (K and (not $F000) + N shl 12) mod 7 =
> 0.
> Другими словами, любое ли число можно привести к делимости
> на 7, изменив три бита начиная с 13ого.


2 в любой степени и 7 - всегда взаимно-простые числа, так что да.

> всегда существует такое N: 0..7


более того, всегда существует такое N: 0..6 (или N: 1..7)

О как! Я плохо понял, но я вам верю.
Спасибо большое!