Работает самописный сервис, который периодически, с помощью FileZilla из командной строки, скачивает разное с разных сайтов.
Опять же, периодически, раз в месяц, примерно, начинаются в логах FileZilla сыпаться ошибки о недоступности серверов. При этом с другого компьютера, по факту сервера доступны.
Перезапускал сервис - может, что-то с правами учетки и порожденный процесс (FileZilla ) не имеет каких-то прав - не помогает.
А перезагрузка всего сервера - помогает.
Раза 5-6 уже было за последние пол-года.  

Что можно попробовать посмотреть -подкрутить?

в "просмотр событий" "журналы windows" посмотри, если лечится только перезагрузкой всего сервера, значит что то блокирует/занимает ресурсы во всей системе, и должно там отражаться. в ошибках.
где то у тебя/FileZillе не отпускаются какие то ресурсы, например открытые порты остаются, и когда кончаются ->  недоступен сервер (это типа внешнее, а до невозможности открыть порт, внутреннего, ты не докопался).
как один из вариантов.