Решил, кажется, 7-ую. Правда, длинно и ни разу не элегантно (приведено ниже).
А есть ли красивое решение?

Решение.
Сперва отмечу, что если есть группа шаров, в которой есть как минимум один радиоактивных шар, то найти ОДИН радиоактивный шар можно гарантированно (последовательно деля группу пополам и меряя одну из групп)
 за 1 измерение - в группе из 2 шаров,
 за 2 измерения - в группе из 4 шаров,
 за 3 измерения - в группе из 8 шаров,
 за 4 измерения - в группе из 16 шаров.
 
Далее введем обозначение
N+ обозначает группу из N шаров, среди которых есть хотя бы один радиоактивный.
N? обозначает группу из N шаров, которую мы не меряли (т.е. неизвестно, есть ли в ней радиоактивные шары).
Обозначение для группы, где все шары - нерадиоактивные, не нужно, т.к. такую группу мы будем сразу выбрасывать.

Итак, поехали. Делим 15 шаров на две группы: 5 и 10 шаров и меряем группу с 5 шарами.
Возможны 2 варианта:
(а) 5+ 10?
(б) 10?

Остается 6 измерений.

С деревом и рисунками обошлись бы одной страницей, текстом будет длиннее... Ну да ладно.

Итак рассматриваем все варианты по очереди.
Сначала вариант (а):
Помним, что осталось 6 измерений и шары поделены на 5+ 10?
Делаем новую группу из 4 шаров из группы 10? и 1 шара из группы 5+  (оставшиеся 4 шара этой группы обозначим как 4") и меряем радиоактивность этой новой группы(в ней 5 шаров). Это единственное такое "хитрое" деление на всю задачу :)
Возможны варианты
(а а) 5+  4" 6?
(а б)4+ 6?

Решаем вариант (а а). Осталось 5 измерений:

меряем один шар - тот, что сейчас в группе 5+, а ранее был забран из группы, что теперь обозначена как 4".
Если этот шар радиоактивный (нашли!), то нам остается 4 измерения и еще 14 шаров, один из которых - радиоактивный.
Как указано в начале, 4-х измерений достаточно для поиска 1 радиоактивного шара в группе из 16 шаров. И заведомо достаточно для группы из 14 шаров. Так что в этом случае мы найдем оба шара и уложимся в 7 измерений.

Если же этот шар нерадиоактивный, то мы его выбрасываем. У нас остается 4+ 4" 6?
Но поскольку этот шар нерадиоактивный, а группа 4", когда он в ней находится, была радиоактивной, то значит радиоактивным является какой-то другой шар этой группы. Т.е. на самом деле имеем 4+ 4+ 6?
Т.о. у нас осталось 4 измерения и две группы по четыре шара, в каждой из которых есть 1 радиоактивный. Как показано вначале, по 2 измерения на каждую группу - вполне достаточно, чтоб найти эти шары.

Итак, вариант (а а) - решаемый.

Теперь решаем вариант (а б), напомню, остается 5 измерений и имеем группы 4+ 6?:

Меряем 4 шара из группы 6?. Получаются варианты:
(а б а) 4+ 4+ 2?
(а б б) 4+ 2?

Причем осталось 4 измерения.
Вариант (а б а), очевидно, вполне решаем за это количество измерений (по два измерения на каждую группу 4+).

Решаем (а б б) 4+ 2?.
Меряем группу 2? Получаем:
(а б б а) 4+ 2+
(а б б б) 4+
Осталось 3 измерения.

Для (а б б а) этого достаточно (2 измерения, чтоб найти шар в группе 4+ и одно - в группе 2+).
Дляя (а б б б) - тоже очевидно достаточно: 4 шара и 3 измерения.
Итак, вариант (а б б) - полностью решаемый.
А значит, и варианта (а б) решаем. А значит, и вариант (а) решаем, т.к. мы рассмотрели все возможные варианты, следующие из (а), и показали, что во всех них исходного количества измерений вполне достаточно.

Итак, теперь вариант (б): 10?, осталось 6 измерений:
Дальше буду писать вкратце. Количество оставшихся измерений тоже писать дальше не буду, его легко посчитать: оно равно 7 минус количество букв в обозначении варианта.
Итак:
(б а) 3+ 7?
(б б) 7?

(б a а) 3+ 4+ 3? - решаемо (по 2 измерения на группы 3+ 4+. А осталось как раз 4 измерения. Хватает.)
(б а б) 3+ 3?

(б а б а) 3+ 2+ 1? решаемо (2 измерения на группу 3+ и одно - на 2+)
(б а б б) 3+ 1?

(б а б б а) 3+ 1+  решаемо (2 оставшихся измерения - на поиск шара в группе 3+. А 1+ - это и есть второй шар)
(б а б б б) 3+ решаемо (2 измерения на поиск первого шара в 3+. И затем еще одно измерение на поиск второго в двух оставшихся шарах).

Итак, вариант (б а) полностью рассмотрен и во всех случаях решаем.

Теперь вариант (б б) 7?:
(б б а) 2+ 5? Решаемо (за 1 измерение находим один радиоактивный в группе 2+. Второй шар этой группы добавляем в группу 5?, получаем 6+ (ведь второй шар теперь точно здесь, больше ж негде :)) и решаем ее за 3 измерения. Как раз уложились в 4 измерения.
(б б б) 5? Очевидно решаемо. Четыре измерения на пять шаров.

Вариант (б б) полностью рассмотрен и во всех случаях решаем. Значит и вариант (б) в целом тоже.

Мы рассмотрели полностью все варианты.

>Bless
Сложно, блин, переварить пока не могу ;)

>А есть ли красивое решение?
Готового решения у меня нет, но для, кажется, 11 шаров  - решалось тоже длинно.

> Дуб ©   (19.12.08 15:37) [55]

а твое то какое дело? бумаги жалко?

> MBo ©   (23.12.08 05:30) [61]
>
> >Bless
> Сложно, блин, переварить пока не могу ;)


Я сразу честно предупредил, что некрасиво, хотя если с деревом и картинками, то понять проще :)

Вообще плохо даже не то, что длинно, а то, что это просто решение конкретной задачи, ни к чему больше не пригодное.

Я помню пятничную задачу про скрытую проводку, концы которой выходят на двух этажах и нужно было определить, где начало и конец каждого провода. Вот там решение (не помню, чье) было мало того что лаконичным, так еще и легко распространялось на любое количество проводов, т.е. годилось для решения целого класса задач. Вот это было красивое решение.
Честно говоря, я рассчитывал услышать нечто подобное и для этой задачи :)

Первое измерение для группы в 5 шаров - однозначно, другие варианты даже теоретически не гарантируют успеха
Далее при положительном измерении получается табличка возможных пар


Пар 60. Далее, как мне кажется, нужно разбивать таблицу примерно пополам, чтобы в каждой половине было не более 32 пар.
Например, измерение группы из 6 неизмеренных шаров -  шары 10-15 отделяются вертикальной линией, прямоугольник справа, 30 + 30 - теоретически проходит
1 измеренный + 4 неизмеренных - узкая полоска сверху плюс квадрат справа
30+30 - тоже проходит, это твой вариант
2 измеренных и 1 неизмеренный - 30 + 30
Больше я разбиений не углядел.

еще попытка выровнять табличку