Господа математики, подтвердите или опровергните... Надеюсь, нет нужды напоминать, что такое равномерно непрерывная функция. Для простоты рассмотрим функцию одной переменной. Если на нее наложить более сильное ограничение, а именно потребовать для любых x,y выполнения неравенства |f(x)-f(y)|<= L|x-y|^a (при a<=1), получим, как известно, условие Липшица (оно же условие Гельдера). А вот существуют ли вообще в природе функции, удовлетворяющие условию при a>1? Скажем, для конкретики, неравенству (f(x)-f(y))^2<=|x-y|^3 для любых x,y из R? У меня получается, что нет, но придуманное доказательство что-то не совсем убедительное :) Или контрпример в студию :) Идею доказательства могу привести.

> [0] Внук ©   (04.10.08 23:46)
> Скажем, для конкретики, неравенству (f(x)-f(y))^2<=|x-y|^3 для любых x,y из R?

Что-то я не поняла. Такая функция y = x * 0 не подойдет ?

> Внук ©   (04.10.08 23:46)  

Рассмотрим отображение f(x) на участке [0,1] которое озвученным свойством обладает (на отрезках такие функции есть - например можно взять локальную обратку для Липшецевого). Отразим его зеркально на участок [0,2]. Устроим период по 2.

По первой прикидке, такая функция удовлетворяет требуемому. Можно рассмотреть как затравочную x^6. Если удастся показать, что она таковая на участке [0,2] - то все.

Забыл сказать - функция не должна быть тождественно равна константе, этот случай очевиден.

Да, все-таки с доказательством я протупил, нельзя такие задачи заполночь решать, там ошибка.

>>Дуб ©   (05.10.08 06:06) [2]
 x^6 не удовлетворяет неравенству (x^6-y^6)^2<=abs(x-y)^3 на [0,1]. Или я что-то не так понял?

Кажется, я допер. Получается
lim abs [(f(x)-f(y))/(x-y)]=lim sqrt abs(x-y) (пределы при x->y), то есть получается, что в каждой точке касательная горизонтальна, то есть функция может быть только константой.
Что скажете?

многабукоф :)

Блин. Лучше бы сказали, прав я или нет :)

> Внук ©   (05.10.08 10:09) [5]

Да, не удовлетворяет. Значит показать не получится. Там при обращении знак не перевернется - поспешил.

> [6]
Похоже на правду. Производная нулевая.

> Внук ©  

А тебе такая задачка:

Задачку принял. Подумаю на досуге вечером.
Я-то спрашивал из практических соображений :) Решил тряхнуть стариной, подбросили мне тут ряд задачек нестандартных по матанализу и диффурам. На понимание. Похоже, не все я понимаю, кое-где застрял. Если интересно, могу выкладывать по одной. Мне в первую очередь хотелось бы выложить те, что решил, чтобы проверить ход своих мыслей.

> Внук ©   (06.10.08 09:33) [11]

Это 10-й класс ЗФМШ.

А задачки можно и ложить, а  то я тоже с разгону с утречка вон учудил всякое. :)