Для загрузки файла с http использую функцию:
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////
function GetInetFile (const fileURL, FileName: String): boolean;
const BufferSize = 1024;
var
 hSession, hURL: HInternet;
 Buffer: array[1..BufferSize] of Byte;
 BufferLen: DWORD;
 f: File;
 sAppName: string;
begin
 Result:=False;
 sAppName := ExtractFileName(Application.ExeName);
 hSession := InternetOpen(PChar(sAppName),INTERNET_OPEN_TYPE_PRECONFIG,nil, nil, 0);
 try
   hURL := InternetOpenURL(hSession,PChar(fileURL),nil,0,0,0);
   try
     AssignFile(f, FileName);
     Rewrite(f,1);
     repeat
       InternetReadFile(hURL, @Buffer,SizeOf(Buffer), BufferLen);
       BlockWrite(f, Buffer, BufferLen);
     until BufferLen = 0;
     CloseFile(f);
     Result:=True;
   finally
     InternetCloseHandle(hURL);
   end;
 finally
   InternetCloseHandle(hSession);
 end;
end;
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Но у нее есть недостаток:
если файла нет, функция все равно возвращает True, т.к. сервер при отсутствии выдает сообщение об ошибке.

Подскажите, как от этого избавиться.

> как от этого избавиться


Для начала осознать, что

1.  InternetReadFile и InternetReadFile - это функции.
2. Вызовы WinAPI-функций при корректных передаваемых им параметрах не приводят в исключительным ситуациям.