uses
 Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms,
 Dialogs, StdCtrls, Math;

type
 TDrawType = (dtMaxRadius, dtMaxAngle);

type
 TformMain = class(TForm)
   btnDraw1: TButton;
   btnDraw2: TButton;
   rbArchimedes: TRadioButton;
   rbFermat: TRadioButton;
   rbGalilei: TRadioButton;
   rbPoinsot: TRadioButton;
   editCoeff: TEdit;
   procedure btnDraw1Click(Sender: TObject);
   procedure btnDraw2Click(Sender: TObject);
   procedure rbArchimedesClick(Sender: TObject);
   procedure rbFermatClick(Sender: TObject);
   procedure rbGalileiClick(Sender: TObject);
   procedure rbPoinsotClick(Sender: TObject);
   procedure FormCreate(Sender: TObject);
 private
   HowToDraw: TDrawType; // for plotting by angle only  
 end;

function RoArchimedes(A, Theta: Extended): Extended;
function RoFermat(A, Theta: Extended): Extended;
function RoGalilei(A, Theta: Extended): Extended;
function RoPoinsot(A, Theta: Extended): Extended;

var
 formMain: TformMain;
 Ro: function (A, Theta: Extended): Extended;

implementation

{$R *.dfm}

function RoArchimedes(A, Theta: Extended): Extended;
begin
 Result := A * Theta;
end;

function RoFermat(A, Theta: Extended): Extended;
begin
 Result := A * Power(Theta, 1/2);
end;

function RoGalilei(A, Theta: Extended): Extended;
begin
 Result := A * (1 - sqr(Theta));
end;

function RoPoinsot(A, Theta: Extended): Extended;
begin
 Result := A * SecH(Theta/3);
end;

procedure TformMain.btnDraw1Click(Sender: TObject);
var
i, x, y, cx, cy, MaxR, MaxT: Integer;
a, theta, R: Double;
begin
 Canvas.Brush.Color := clBtnFace;
 Canvas.FillRect(ClientRect);

 try
   StringReplace(editCoeff.Text, '.', DecimalSeparator, [rfReplaceAll]);
   StringReplace(editCoeff.Text, ',', DecimalSeparator, [rfReplaceAll]);
   a := StrToFloat(editCoeff.Text);
 except
   on E: EConvertError do
     begin
       MessageDlg('Cannot convert coefficient A to number!',
         mtError, [mbOK], 0);
       Exit;
     end;
 end;

 cx := ClientWidth div 2;
 cy := ClientHeight div 2;
 MaxR := 200;
 MaxT := 1000;
 i := 0;
 repeat
   theta := i * 0.001 * (2 * pi);
   R := Ro(a, theta);

   case HowToDraw of
     dtMaxRadius: if abs(R) > MaxR then Break;
     dtMaxAngle:  if abs(Theta) > MaxT then Break;
   end;

   x := cx - Round(R * Cos(theta));
   y := cy + Round(R * Sin(theta));
   Canvas.Pixels[x,y] := clRed;
   Inc(i);
 until False;
end;

procedure TformMain.btnDraw2Click(Sender: TObject);
var
 Centre: TPoint;
 SpiralWidth, SpiralHeight: Integer;
var
 x, y: Integer;
 angle, max_angle: Extended;
 a, r2, delta: Extended;
 ARect: TRect;
begin
 Centre := Point(ClientWidth div 2, ClientHeight div 2);
 SpiralWidth := 400;  SpiralHeight := 300;

 ARect := Rect(Centre.x - SpiralWidth div 2, Centre.y - SpiralHeight div 2,
     Centre.x + SpiralWidth div 2, Centre.y + SpiralHeight div 2);

 Canvas.DrawFocusRect(ARect);

 Canvas.Brush.Color := clBtnFace;
 Canvas.FillRect(ClientRect);

 try
   StringReplace(editCoeff.Text, '.', DecimalSeparator, [rfReplaceAll]);
   StringReplace(editCoeff.Text, ',', DecimalSeparator, [rfReplaceAll]);
   a := StrToFloat(editCoeff.Text);
 except
   on E: EConvertError do
     begin
       MessageDlg('Cannot convert coefficient A to number!',
         mtError, [mbOK], 0);
       Exit;
     end;
 end;

 // Угол считается против часовой стрелки (глядя на экран).
 // Координатная ось x совпадает с углом 0°.

 delta := 0.7; // Также задаёт толщину

 // Максимальный возможный угол в данном прямоугольнике нужно
 // расчитывать отдельно для каждой спирали, поэтому для упрощения
 // здесь берётся максимальный угол для Fermat's spiral как самый
 // большой при равном A и возрастающем радиусе.
 max_angle := (sqr(SpiralWidth div 2) + sqr(SpiralWidth div 2)) / 100;

 for y := ARect.Top to ARect.Bottom do
   for x := ARect.Left to ARect.Right do
     begin
       angle := ArcTan2(Centre.y - y, x - Centre.x);
       if (angle < 0) then angle := angle + 2 * pi;

       r2 := sqr(x - Centre.x) + sqr(Centre.y - y);

       while (angle <= max_angle) do
         begin
         if (abs(abs(Ro(a, angle)) - sqrt(r2)) < delta) then
             Canvas.Pixels[x,y] := clBlack;
           angle := angle + 2 * pi;
         end;
     end;
end;

procedure TformMain.rbArchimedesClick(Sender: TObject);
begin
 Ro := RoArchimedes;
 editCoeff.Text := '15';
 HowToDraw := dtMaxRadius;
end;

procedure TformMain.rbFermatClick(Sender: TObject);
begin
 Ro := RoFermat;
 editCoeff.Text := '35';
 HowToDraw := dtMaxRadius;
end;

procedure TformMain.rbGalileiClick(Sender: TObject);
begin
 Ro := RoGalilei;
 editCoeff.Text := '1';
 HowToDraw := dtMaxRadius;
end;

procedure TformMain.rbPoinsotClick(Sender: TObject);
begin
 Ro := RoPoinsot;
 editCoeff.Text := '200';
 HowToDraw := dtMaxAngle;  
end;

procedure TformMain.FormCreate(Sender: TObject);
begin
 rbArchimedesClick(Self);
end;