procedure CreateSpiral(FWidth, FHeight : Integer; Rotangle : Double);
     var X, Y, Ox, Oy : Integer;
         Theta, Dist : Double;
         clr : Byte;
         temp : Double;
begin
 // here there will be a centre!
 Ox := MulDiv(FWidth,  1, 2);
 Oy := MulDiv(FHeight, 1, 2);
 Theta := 0;
 for Y := 0 to Pred(FHeight) do
 begin
   for X := 0 to Pred(FWidth) do
   begin
      Dist := Sqrt(Sqr(X - Ox) + Sqr(Y - Oy));
      Theta := -ArcTan2(y - Oy, x - Ox) + Rotangle;
      temp := Theta + Dist;
      clr  := 255*Sign(Sin(temp));
      if clr <> 255 then
        если не равно белому цвету, то заполнять пикселами переднего плана (например, clBlue);
   end;
 end;
end;

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);
var
 i, x, y, cx, cy, MaxR: Integer;
 a, theta, R: Double;
begin
  a := 20;
  cx := 200;
  cy := 200;
  maxR := 200;
  i := 0;
  repeat
    theta := i * 0.2 /(2 * pi);
    R := a * Sqrt(theta);
    if R > MaxR then
      Break;
    x := cx + Round(R * Cos(theta));
    y := cy + Round(R * Sin(theta));
    Canvas.Pixels[x, y] := clBlack;
    Inc(i);
  until False;
end;

procedure CreateSpiral(FWidth, FHeight : Integer; Rotangle : Double);
    var X, Y, Ox, Oy : Integer;
        Theta, Dist : Double;
        clr : Byte;
        temp : Double;
begin
// here there will be a centre!
Ox := MulDiv(FWidth,  1, 2);
Oy := MulDiv(FHeight, 1, 2);
Theta := 0;
for Y := 0 to Pred(FHeight) do
begin
  for X := 0 to Pred(FWidth) do
  begin
     Dist := Sqrt(Sqr(X - Ox) + Sqr(Y - Oy));
     Theta := -ArcTan2(y - Oy, x - Ox) + Rotangle;
     temp := Theta + Dist;
     clr  := 255*Sign(Sin(temp));
     if clr <> 255 then
       если не равно белому цвету, то заполнять пикселами переднего плана (например, clBlue);
  end;
end;
end;

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);
var
i, x, y, cx, cy, MaxR: Integer;
a, theta, R: Double;
begin
 a := 20;
 cx := 200;
 cy := 200;
 maxR := 200;
 i := 0;
 repeat
   theta := i * 0.2 /(2 * pi);
   R := a * Sqrt(theta);
   if R > MaxR then
     Break;
   x := cx + Round(R * Cos(theta));
   y := cy + Round(R * Sin(theta));
   Canvas.Pixels[x, y] := clBlack;
   Inc(i);
 until False;
end;

procedure TformMain.btnDrawClick(Sender: TObject);
var
 Centre: TPoint;
 SpiralWidth, SpiralHeight: Integer;
var
 x, y: Integer;
 angle: Extended;
 a2, r2, delta: Extended;
 ARect: TRect;
begin
 Centre := Point(ClientWidth div 2, ClientHeight div 2);
 SpiralWidth := 400;  SpiralHeight := 300;

 ARect := Rect(Centre.x - SpiralWidth div 2, Centre.y - SpiralHeight div 2,
     Centre.x + SpiralWidth div 2, Centre.y + SpiralHeight div 2);

 Canvas.DrawFocusRect(ARect);

 // Угол считается против часовой стрелки (глядя на экран).
 // Координатная ось x совпадает с углом 0°.

 // r^2 = ± a^2 * angle

 a2 := sqr(40); // уже в квадрате
 delta := 0.03;

 for y := ARect.Top to ARect.Bottom do
   for x := ARect.Left to ARect.Right do
     begin
       angle := ArcTan2(Centre.y - y, x - Centre.x);
       { if ((x = Centre.X+50) and (y = Centre.Y-50)) then
         Caption := FloatToStr(angle); }
       if (angle < 0) then angle := angle + 2 * pi;

       // Полученный угол обобщается до angle + (2 * pi * n),
       // где n должно быть натуральным, что мы и проверяем.

       r2 := sqr(x - Centre.x) + sqr(Centre.y - y);

       delta := sqrt(r2) * 0.0002 + 0.01;

       // Чем ближе к центру, тем большая точная нужна.
       // Поэтому delta пропорциональная расстоянию sqrt(r2).

       if (frac(abs((r2 / a2 - angle) / (2 * pi))) < delta) then
         begin
           // Положительная часть
           Canvas.Pixels[x,y] := clBlack;
           // Отрицательная часть
           Canvas.Pixels[Centre.x - (x - Centre.x),
             Centre.y - (y - Centre.y)] := clBlack;
         end;
     end;
end;

procedure TformMain.btnDraw2Click(Sender: TObject);
var
i, x, y, cx, cy, MaxR: Integer;
a, theta, R: Double;
begin
 a := 40;
 cx := ClientWidth div 2;
 cy := ClientHeight div 2;
 maxR := 200;
 i := 0;
 repeat
   theta := i * 0.1 /(2 * pi);
   R := a * Sqrt(theta);
   if R > MaxR then Break;
   // Положительная часть
   x := cx - Round(R * Cos(theta));
   y := cy + Round(R * Sin(theta));
   Canvas.Pixels[x, y] := clSilver;
   // Отрицательная часть
   x := cx + Round(R * Cos(theta));
   y := cy - Round(R * Sin(theta));
   Canvas.Pixels[x, y] := clSilver;
   Inc(i);
 until False;
end;

procedure TformMain.btnDraw3Click(Sender: TObject);
var
 Centre: TPoint;
 SpiralWidth, SpiralHeight: Integer;
var
 x, y: Integer;
 angle, max_angle: Extended;
 a2, r2, delta: Extended;
 ARect: TRect;
begin
 Centre := Point(ClientWidth div 2, ClientHeight div 2);
 SpiralWidth := 400;  SpiralHeight := 300;

 ARect := Rect(Centre.x - SpiralWidth div 2, Centre.y - SpiralHeight div 2,
     Centre.x + SpiralWidth div 2, Centre.y + SpiralHeight div 2);

 Canvas.DrawFocusRect(ARect);

 // Угол считается против часовой стрелки (глядя на экран).
 // Координатная ось x совпадает с углом 0°.

 // r^2 = ± a^2 * angle

 a2 := sqr(40); // уже в квадрате
 delta := 0.7;

 max_angle := (sqr(SpiralWidth div 2) + sqr(SpiralWidth div 2)) / a2;

 for y := ARect.Top to ARect.Bottom do
   for x := ARect.Left to ARect.Right do
     begin
       angle := ArcTan2(Centre.y - y, x - Centre.x);
       if (angle < 0) then angle := angle + 2 * pi;

       r2 := sqr(x - Centre.x) + sqr(Centre.y - y);

       while (angle <= max_angle) do
         begin
         if (abs(sqrt(a2 * angle) - sqrt(r2)) < delta) then
             begin
               // Положительная часть
               Canvas.Pixels[x,y] := clBlack;
               // Отрицательная часть
               Canvas.Pixels[Centre.x - (x - Centre.x),
                 Centre.y - (y - Centre.y)] := clBlack;
             end;
           angle := angle + 2 * pi;
         end;
     end;
end;